Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Entonces $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.2.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Paso 2.3.2.1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1.4.4.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Paso 2.3.2.1.4.4.2

Reordena los factores de $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Paso 2.3.3.2

Combina $u_{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{3}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ como $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2

Simplifica.

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Paso 2.3.9.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.9.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.9.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$