Cálculo Ejemplos

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Paso 1

Resta $420 y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$69 x d y = - 420 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3.2

Combina $69$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Combina $- 420$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $69$ es constante con respecto a $y$ , mueve $69$ fuera de la integral.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $420$ es constante con respecto a $x$ , mueve $420$ fuera de la integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $420$ por $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $69 \ln (| y |)$ al mover $69$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica $420 \ln (| x |)$ al mover $420$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{420}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Paso 5.2.1.3

Reordena los factores en $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ por $x^{420}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ por $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{420}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide ${| y |}^{69}$ por $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ como ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

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Paso 5.5.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{69}$ de $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Paso 5.5.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta ${(x^{6})}^{69}$ de $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Paso 5.5.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Paso 5.5.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Paso 5.5.4.3

Reescribe $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ como $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Paso 5.5.4.4

Combina fracciones.

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Paso 5.5.4.4.1

Combinar.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Paso 5.5.4.4.2

Multiplica $\sqrt[69]{e^{C}}$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Paso 5.5.4.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.5.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Paso 5.5.4.5.2

Reescribe $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ como $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Paso 5.5.4.5.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Paso 5.5.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Paso 5.5.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Paso 5.5.4.7.2

Mueve $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Paso 5.5.4.7.3

Eleva $\sqrt[23]{x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Paso 5.5.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Paso 5.5.4.7.5

Suma $1$ y $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Paso 5.5.4.7.6

Reescribe ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ como $x^{2}$ .

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Paso 5.5.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[23]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Paso 5.5.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Paso 5.5.4.7.6.3

Combina $\frac{2}{23}$ y $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Paso 5.5.4.7.6.4

Multiplica $2$ por $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Paso 5.5.4.7.6.5

Cancela el factor común de $46$ y $23$ .

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Paso 5.5.4.7.6.5.1

Factoriza $23$ de $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Paso 5.5.4.7.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.7.6.5.2.1

Factoriza $23$ de $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Paso 5.5.4.7.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Paso 5.5.4.7.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Paso 5.5.4.7.6.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Paso 5.5.4.8

Multiplica $x^{6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.4.8.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Paso 5.5.4.8.2

Suma $6$ y $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ como $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{22}$ .

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Paso 5.5.4.9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.2.2

Multiplica $2$ por $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.3

Factoriza $x^{23}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.5

Combina exponentes.

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Paso 5.5.4.9.5.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $69$ .

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Paso 5.5.4.9.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[23]{x^{21}}$ como $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.5.1.2

Reescribe $x^{\frac{21}{23}}$ como $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.5.1.3

Reescribe $x^{\frac{63}{69}}$ como $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.9.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.5.4.10.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{8}$ .

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Paso 5.5.4.10.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Paso 5.5.4.10.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.10.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Paso 5.5.4.10.1.2.2

Cancela el factor común.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Paso 5.5.4.10.1.2.3

Reescribe la expresión.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Paso 5.5.4.10.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Paso 5.5.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$