Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reordena $1$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.2

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 2.3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 2.3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Paso 2.3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Paso 2.3.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (x - \arctan (x) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 \arctan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.4

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

Paso 3.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$