Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{2 y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 4$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 4$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 4$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 4$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{4}{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{4}{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 \int x^{- 2} d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 (- x^{- 1} + C)$

Paso 7.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.4.1

Reescribe $4 (- x^{- 1} + C)$ como $4 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 4 (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 7.4.2

Simplifica.

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Paso 7.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 4 \frac{1}{x} + C$

Paso 7.4.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 4}{x} + C$

Paso 7.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{4}{x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{4}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{4}{x} = C$

Paso 8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{4}{x} - C = 0$

Paso 8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{4}{x} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{4}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{4}{x}$

Paso 8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{4}{x} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{4}{x} + C) x^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{4}{x} + C) x^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- \frac{4}{x} + C) x^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(- \frac{4}{x} + C) x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{x}$ al numerador.

$y = \frac{- 4}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- 4}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 4}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 4 x + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Reordena $- 4 x$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - 4 x$