Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Paso 1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 2.2

Integra $2 x$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 7.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 7.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 7.6

Simplifica.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 7.8.2

Multiplica $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Paso 7.8.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 7.8.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 7.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Paso 7.9

Reordena los términos.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{2} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- \frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.2

Resta $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $x^{2} \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.2.3

Combina $x^{2} \frac{1}{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.3.3

Reescribe $x^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 8.3.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.4

Para escribir $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.5

Para escribir $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 e^{x^{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ por $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3.6.2

Multiplica $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Paso 8.3.6.3

Reordena los factores de $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.8.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.3.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.3.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.8.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.4

Reescribe $- 1 e^{x^{2}}$ como $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.8.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$