Cálculo Ejemplos

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $x = e^{r y}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Paso 2.4

Reordena los factores en $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r y}$ de $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Divide cada término en $y r^{2} = y^{2} + 1$ por $y$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $y r^{2} = y^{2} + 1$ por $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3.1.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Paso 3.1.3.1.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

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Paso 3.3.1

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Paso 3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Paso 3.3.3

Multiplica $y$ por $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ como $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Paso 3.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Paso 3.3.6.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Paso 3.3.6.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Paso 3.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Paso 3.3.6.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 3.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Paso 3.3.6.6.5

Simplifica.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Paso 3.3.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Paso 3.3.8

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ al numerador.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$