Cálculo Ejemplos

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $x (1 + x^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.2

Reordena $y$ y $1$ .

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.1.7

Reordena $y$ y $y^{3}$ .

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$