Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Entonces $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \csc (θ)$ y $g (θ) = 7 θ$ .

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Paso 2.3.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Paso 2.3.1.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $7 θ$ con respecto a $θ$ es $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Paso 2.3.1.1.3.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1.3.4.1

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Paso 2.3.1.1.3.4.2

Reordena los factores de $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ por $θ$ y de $3$ por $r$ en $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Combina $7$ y $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.5.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.5.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.2.1.5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Paso 4.2.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Paso 4.2.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Paso 4.2.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Paso 4.2.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Paso 4.2.1.7.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{14}$ al numerador.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Paso 4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{1}{7}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Paso 4.3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Paso 4.3.3

Combina $3$ y $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Paso 4.3.5.2

Suma $21$ y $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Paso 5

Sustituye $\frac{22}{7}$ por $K$ en $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{22}{7}$ por $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Paso 5.2

Combina $\csc^{2} (7 θ)$ y $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$