Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{2}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{2}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Paso 6

Sustituye $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{2}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Separa las variables.

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Paso 7.1.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 7.1.1.1

Simplifica $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 7.1.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 7.1.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Paso 7.1.1.1.2

Simplifica.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Paso 7.1.1.2

Resta $x v^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Paso 7.1.1.3

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ por $2 v$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.3.1

Divide cada término en $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $v$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.2.2.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.2.2

Divide $3 x$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ y $v$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1.3.1

Factoriza $v$ de $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Paso 7.1.1.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Factoriza $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Paso 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Paso 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Paso 7.1.1.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Paso 7.1.2

Factoriza.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $x$ de $3 x - \frac{x v}{2}$ .

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Paso 7.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Paso 7.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Paso 7.1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Paso 7.1.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Paso 7.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Paso 7.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Paso 7.1.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Paso 7.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Paso 7.1.4

Simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Combina $x$ y $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Paso 7.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Paso 7.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Paso 7.1.4.3

Cancela el factor común de $6 - v$ .

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Paso 7.1.4.3.1

Factoriza $6 - v$ de $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Paso 7.1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Paso 7.1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Paso 7.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Paso 7.2

Integra ambos lados.

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Paso 7.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Paso 7.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $v$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Paso 7.2.2.2

Sea $u_{2} = 6 - v$ . Entonces $d u_{2} = - d v$ , de modo que $- d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Deja $u_{2} = 6 - v$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Paso 7.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Paso 7.2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Paso 7.2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Paso 7.2.2.7

Simplifica.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 7.2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 7.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 7.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3

Resuelve $v$

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Paso 7.3.1

Divide cada término en $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 7.3.1.1

Divide cada término en $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 7.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 6 - v |)$ por $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.3

Combinar.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Paso 7.3.1.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Paso 7.3.2

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Paso 7.3.3

Reescribe $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Paso 7.3.4

Resuelve $v$

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Paso 7.3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Paso 7.3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Paso 7.3.4.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Paso 7.3.4.4

Divide cada término en $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.3.4.4.1

Divide cada término en $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.3.4.4.2.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.4.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.3.4.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ como $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Paso 7.3.4.4.3.1.3

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Paso 7.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 7.4.1

Simplifica la constante de integración.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Paso 7.4.2

Reescribe $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Paso 7.4.3

Reordena $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ y $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Paso 7.4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Paso 8

Sustituye $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$