Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\ln (5)$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\ln (5)$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $5^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$