Cálculo Ejemplos

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} y + 8 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3} y$ con respecto a $y$ es $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 y$ con respecto a $y$ es $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y + 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Paso 2.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x^{3} + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x^{3} + 8 = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x^{3} + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $- (- x^{3} - 8)$ de $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4

Reescribe $- x^{3} - 8$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.2.4.1

Reescribe $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = - x$ y $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.4

Simplifica.

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Paso 4.3.2.4.4.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.2.4.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $x^{3} y + 8 y$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Paso 4.3.3.1.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Paso 4.3.3.1.3

Factoriza $y$ de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Paso 4.3.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Paso 4.3.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Paso 4.3.3.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 x + 4$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $- x - 2$ y $x + 2$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5.4

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Paso 4.3.5.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.6

Sustituye $x^{3} y + 8 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{3} y + 8 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x^{3} y + 8 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $x^{3} y + 8 y$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.1.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.1.3

Factoriza $y$ de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.4

Simplifica.

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Paso 6.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.3.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ por $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.5

Expande $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.6.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.3.1

Mueve $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.6.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.7

Combina los términos opuestos en $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

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Paso 6.7.1

Suma $- 2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.7.2

Suma $x^{3} + 4 x$ y $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.7.3

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.7.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Paso 6.8

Multiplica $y + 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $y + 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = x^{3} + 8$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Paso 8.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Paso 8.4

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.3

Como $\frac{1}{4} x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.4

Como $8 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.6

Combina los términos.

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Paso 11.6.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Paso 11.6.2

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{y + 1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Paso 12.3

Divide la fracción en varias fracciones.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Paso 12.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 12.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.5.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 12.5.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 12.6

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 12.7

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Paso 12.8

Simplifica.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Paso 14

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$