Cálculo Ejemplos

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 1

Establece una integral en cada lado.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Simplifica.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 3.2

Divide $x^{2} + 1$ por $x$ .

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Paso 3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 3.2.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Paso 3.2.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Paso 3.6.2

Simplifica.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Paso 4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$