Cálculo Ejemplos

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Resta $5 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ por $10 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ por $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Paso 2.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Paso 2.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 2.1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 2.1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Paso 2.1.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 3.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.1

Combina $\ln (| x |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Paso 4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1

Simplifica $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1.1

Reescribe $\frac{\ln (| x |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Paso 4.3.1.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 4.3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 4.3.1.3

Reordena los factores en $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Paso 4.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Paso 4.5

Reescribe $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Paso 4.6

Resuelve $y$

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Paso 4.6.1

Reescribe la ecuación como ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Paso 4.6.2

Divide cada término en ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ por ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.1

Divide cada término en ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ por ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.6.2.2.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.6.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$