Cálculo Ejemplos

$d x + e^{4 x} d y = 0$

Paso 1

Resta $d x$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{4 x} d y = - d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{e^{4 x}}$ y $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Niega el exponente de $e^{4 x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

Paso 4.3.3

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.3.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 4.3.3.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 4.3.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 4.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 4.3.4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 4.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 4.3.6

Simplifica.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 4.3.6.2

Multiplica $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 4.3.7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$