Cálculo Ejemplos

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta $y \ln (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ por $- x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ por $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ como $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$