Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $y$ de $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Paso 2.2

Integra $2 \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec^{2} (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.6

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.7

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.9

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.10

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.11

Combinar.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.12

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.12.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.12.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.12.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.2.13

Combina $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Paso 3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Paso 3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Paso 3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.2

Separa las fracciones.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.4

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.5

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.6

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.8

Combina $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ y $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.9

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.10

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.11

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.12

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.13.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.13.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.14

Multiplica $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.14.1

Combina $\tan (x)$ y $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.14.2

Combina $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ y $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.15

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.16

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.17

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.18.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.18.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.19

Divide $(2 y) \sec (x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.20

Multiplica $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.20.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.20.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.20.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.7.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.8

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 3.9

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.10

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 3.11

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Paso 3.12

Reordena los factores en $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ por $\sec^{2} (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ por $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ y $\sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$