Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\cos^{2} (y)$ de $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Paso 2.2.2

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Paso 3.1.2

Reordena $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Paso 3.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$