Cálculo Ejemplos

$\frac{d Y}{d x} = - 15 x^{2}$ , $Y (0) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d Y = - 15 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d Y = \int - 15 x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$Y + C_{1} = \int - 15 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 15$ fuera de la integral.

$Y + C_{1} = - 15 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$Y + C_{1} = - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$Y + C_{1} = - 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{3}$ .

$Y + C_{1} = \frac{- 15}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 15$ y $3$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$Y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 5}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$Y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$Y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$Y + C_{1} = \frac{- 5}{1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$Y + C_{1} = - 5 x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$Y = - 5 x^{3} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $6$ por $Y$ en $Y = - 5 x^{3} + K$ .

$6 = - 5 \cdot 0^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 5 \cdot 0^{3} + K = 6$ .

$- 5 \cdot 0^{3} + K = 6$

Paso 4.2

Simplifica $- 5 \cdot 0^{3} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 5 \cdot 0 + K = 6$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 + K = 6$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 6$

Paso 5

Sustituye $6$ por $K$ en $Y = - 5 x^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $6$ por $K$ .

$Y = - 5 x^{3} + 6$