Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{e^{x}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{e^{x}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{e^{x}}$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 2.3.2.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.3.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 e^{- x} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- 4 e^{- x} + C}$ como $e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- 4 e^{- x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 e^{- x}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- 4 e^{- x}}$