Cálculo Ejemplos

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

Paso 1

Resta $(y - 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ al numerador.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y - 1$ de $x^{2} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = y - 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 4.2.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $- (- x^{- 1} + C_{2})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ .

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

Paso 5.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{\frac{1}{x} + C}$ como $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Paso 6.2

Reordena $e^{\frac{1}{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$