Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $t y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $y - t y$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Paso 1.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Paso 1.2.3

Factoriza $y$ de $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Paso 3.3.2

Combina $t^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ como $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $3$ por $y$ en $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Paso 6.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Paso 6.2.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Paso 6.3

Divide cada término en $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ por $e^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ por $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Sustituye $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $C$ en $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $C$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Paso 7.2

Combina $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3

Factoriza $e^{\frac{1}{2}}$ de $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 7.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Paso 7.4.4

Divide $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$