Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.5

Elimina los paréntesis.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.6

Mueve $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 5.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 5.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 5.6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 5.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 5.8

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 5.9

Simplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 5.11

Simplifica.

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Paso 5.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 5.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 5.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 5.11.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Paso 5.11.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 5.11.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 5.12

Reordena los términos.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 6

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.6

Combinar.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.7

Multiplica $\sin (2 x)$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$