Cálculo Ejemplos

$2 x (y d) x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 1.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - y^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} - y^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 2.5

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = - 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x = - 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x$ de $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{2 y}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $2 x y d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$2 x \frac{1}{y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.4

Combina $x$ y $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x - (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $- (x^{2} - y^{2})$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x - (x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{y} d x + (- x^{2} - - y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.8

Multiplica $- - y^{2}$ .

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Paso 6.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (- x^{2} + 1 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.8.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (- x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $- x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{- x^{2} + y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.10

Simplifica el numerador.

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Paso 6.10.1

Reordena $- x^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.10.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{2}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.5

Combina $\frac{1}{y}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{y}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.5.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Expande $(- y - x) (y - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.1.1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.3.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.2

Resta $x y$ de $y x$ .

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Paso 12.1.1.3.3.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.2.2

Resta $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.3.3

Suma $- y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Paso 12.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Paso 13.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$