Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Paso 1.2.2

Combina $6$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y$ de $\frac{1}{x + 6} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{x + 6}$

Paso 1.2.4

Combina $6$ y $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x + 6}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6}{x + 6} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x + 6} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x + 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 6 \ln (| x + 6 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $- 6 \ln (| x + 6 |)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{6}) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x + 6 |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 6)}^{6}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${(x + 6)}^{6}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${(x + 6)}^{6}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Simplifica $e^{C} {(x + 6)}^{6}$ .

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Paso 3.5.4.1.1

Usa el teorema del binomio.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 6 + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1.2.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 36 + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.3

Multiplica $36$ por $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 216 + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.5

Multiplica $216$ por $20$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.6

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1296 + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.7

Multiplica $1296$ por $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.8

Multiplica $6$ por $6^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.4.1.2.1.8.1

Mueve $6^{5}$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6 x + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.8.2

Multiplica $6^{5}$ por $6$ .

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Paso 3.5.4.1.2.1.8.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6^{1} x + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5 + 1} x + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.8.3

Suma $5$ y $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{6} x + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.9

Eleva $6$ a la potencia de $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 6^{6})$

Paso 3.5.4.1.2.1.10

Eleva $6$ a la potencia de $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 46656)$

Paso 3.5.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} x^{6} + e^{C} (36 x^{5}) + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3

Simplifica.

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Paso 3.5.4.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + e^{C} \cdot 46656$

Paso 3.5.4.1.3.6

Mueve $46656$ a la izquierda de $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 \cdot e^{C}$

Paso 3.5.4.1.4

Reordena los factores en $e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 e^{C}$ .

$| y | = x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C})$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm (x^{6} C + 36 x^{5} C + 540 x^{4} C + 4320 x^{3} C + 19440 x^{2} C + 46656 x C + C)$