Cálculo Ejemplos

$\frac{d f}{d t} = 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d f = (16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d f = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f + C_{1} = \int 16 t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.3.2

Dado que $16$ es constante con respecto a $t$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 16 \int t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.3.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Paso 2.3.5

Sea $u = 1 - t^{2}$ . Entonces $d u = - 2 t d t$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 1 - t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Paso 2.3.5.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 2.3.5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 2.3.5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Paso 2.3.5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Paso 2.3.5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 t$

Paso 2.3.5.1.4

Resta $2 t$ de $0$ .

$- 2 t$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.3.6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.10.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.10.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.10.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.10.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.10.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Simplifica.

$f + C_{1} = 8 t^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.2

Simplifica.

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Paso 2.3.12.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.4

Combina $\frac{- 10}{2}$ y $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.5

Factoriza $2$ de $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.12.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.6.2

Cancela el factor común.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Paso 2.3.12.2.6.4

Divide $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$f = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$