Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

Reordena $e^{x}$ y $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.4

Reordena $e^{x}$ y $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.8

Al resolver $\int e^{x} \sin (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Paso 2.3.9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Paso 2.3.10

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1.1

Suma $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ y $x \sin (x)$ .

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Paso 2.3.11.1.1.1

Mueve $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11.1.1.2

Para escribir $x \sin (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11.1.1.3

Combina $x \sin (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Paso 2.3.11.2

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Paso 2.3.11.3

Simplifica.

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Paso 2.3.11.3.1

Para escribir $\cos (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.3.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.11.4

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$