Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 - y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.4

Reescribe $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x + 1} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| 2 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + C}{- 1}$

Paso 3.1.3.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C \cdot 1}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.4.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.3.5.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $C x$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) - (- C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- C x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.4

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) - 1 (- C)}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 - C x) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x - C)}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1 - C x - C}{x + 1}}{- 1}$

Paso 3.1.3.5.7

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}{1}$

Paso 3.1.3.5.8

Divide $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} = | 2 - y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Paso 3.4.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} - 2$

Paso 3.4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.2.1

Divide la fracción $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ en dos fracciones.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Paso 3.4.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.2.2.1

Divide la fracción $\frac{1 - C x}{x + 1}$ en dos fracciones.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} + \frac{- C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Paso 3.4.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Paso 3.4.3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Para escribir $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.2

Para escribir $\frac{- 2}{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.3.3.1

Multiplica $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.3.3

Multiplica $\frac{- 2}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Paso 3.4.4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.4

Reescribe $- 1 (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ como $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Paso 3.4.4.3.5.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2}{1}$

Paso 3.4.4.3.6

Divide $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm e^{\frac{1 + C x + C}{x + 1}}) + 2$