Cálculo Ejemplos

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (2 x y + x)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.4

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.7

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 0$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x = 0$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- (2 x y + x)$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- (2 x y + x)$ por $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Paso 5.3.2.2

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x$ de $2 x y + x$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Paso 5.3.5

Sustituye $- (2 x y + x)$ por $M$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Paso 6.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Paso 6.4

Sea $u = 2 y + 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.4.1

Deja $u = 2 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 6.4.1.1

Diferencia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Paso 6.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 6.4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 6.4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 6.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 6.4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 6.4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 6.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 6.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 6.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 6.9

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 6.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Paso 6.11

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.1

Simplifica $- \ln (| 2 y + 1 |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Paso 6.11.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Paso 6.11.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{2 y + 1}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- (2 x y + x)$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $- 2 x y - x$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.5

Factoriza $x$ de $- 2 x y - x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $x$ de $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $- 2 y - 1$ y $2 y + 1$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6.4

Reescribe $- (2 y + 1)$ como $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6.5

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Paso 7.6.6

Divide $x \cdot (- 1)$ por $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Paso 7.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Paso 7.8

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Paso 7.9

Multiplica $y$ por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Paso 7.10

Combina $y$ y $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = - x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x d x$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 12.3

Como $- \frac{1}{2} x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 12.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{y}{2 y + 1}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Paso 13.3

Divide $y$ por $2 y + 1$ .

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Paso 13.3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Paso 13.3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Paso 13.3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Paso 13.3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Paso 13.3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Paso 13.3.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Paso 13.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Paso 13.5

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Paso 13.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Paso 13.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Paso 13.8

Elimina los paréntesis.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Paso 13.9

Sea $u = 2 y + 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.9.1

Deja $u = 2 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 13.9.1.1

Diferencia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Paso 13.9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 13.9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 13.9.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 13.9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 13.9.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 13.9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 13.9.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 13.9.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 13.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 13.10

Simplifica.

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Paso 13.10.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 13.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Paso 13.10.3

Multiplica $2$ por $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 13.11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 13.12

Simplifica.

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Paso 13.12.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 13.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 13.13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 13.14

Simplifica.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 13.15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Paso 15.1.3

Multiplica $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

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Paso 15.1.3.1

Reordena $\ln (| 2 y + 1 |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Paso 15.1.3.2

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Paso 15.2

Para escribir $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 15.3

Combina $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 15.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.5.1

Multiplica $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Paso 15.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Paso 15.5.1.2

Simplifica $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Paso 15.5.2

Multiplica los exponentes en ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Paso 15.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 15.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 15.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 15.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$