Cálculo Ejemplos

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Paso 1.3.2

Combinar.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Paso 1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Paso 1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Paso 1.3.5

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Paso 1.3.6

Separa las fracciones.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Paso 1.3.7

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Paso 1.3.8

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Paso 1.3.9

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Paso 1.3.10

Multiplica $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

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Paso 1.3.10.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Paso 1.3.10.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Paso 1.3.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Paso 1.3.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Paso 1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Combina $\frac{y}{e^{y}}$ y $7$ .

$\int \frac{y \cdot 7}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $y$ .

$\int \frac{7 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.2

Dado que $7$ es constante con respecto a $y$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$7 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$7 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$7 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$7 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.7

Sea $u_{1} = - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.7.1

Deja $u_{1} = - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$7 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$7 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.9

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.10

Reescribe $7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ como $7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.2.11

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- y$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = \sin (θ)$ . Entonces $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = \sin (θ)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (θ)$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$