Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} - 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} - 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$y + C_{1} = \ln (| x^{2} - 9 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| x^{2} - 9 |) + C$