Cálculo Ejemplos

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 3 x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Paso 2.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 3$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Paso 4.3.2

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Paso 5.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ por el factor integrador $y^{2}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Paso 6.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $3 + 3 x - y$ por $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 6.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Paso 6.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Paso 6.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y^{3}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $3 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

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Paso 12.1.2.1

Reordena los factores en los términos $3 x y^{2}$ y $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Paso 12.1.2.2

Resta $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Paso 12.1.2.3

Suma $3 y^{2} - y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $3 y^{2} - y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Paso 13.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Paso 13.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Paso 13.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Paso 13.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Paso 13.8

Simplifica.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.9

Simplifica.

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Paso 13.9.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.9.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.9.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 13.9.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15

Combina $y^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$