Cálculo Ejemplos

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Paso 1.4

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x + x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x + x y$ por $M$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $2 x + x y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $2 x + x y$ por $M$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Paso 5.2

Sea $u = 2 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = 2 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Paso 5.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- \ln (| 2 + y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{2 + y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x + x y$ por $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x + x y$ por $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $x$ de $2 x + x y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y$ por $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Paso 6.6

Combina $y$ y $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Paso 11.3

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{y}{2 + y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Paso 12.3

Reordena $2$ y $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Paso 12.4

Divide $y$ por $y + 2$ .

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Paso 12.4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Paso 12.4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Paso 12.4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Paso 12.4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 2$ .

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Paso 12.4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Paso 12.4.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Paso 12.5

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Paso 12.6

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Paso 12.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Paso 12.8

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Paso 12.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Paso 12.10

Sea $u = y + 2$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.10.1

Deja $u = y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 12.10.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 12.10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 12.10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 12.10.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12.11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Paso 12.12

Simplifica.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Paso 12.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Paso 14

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Paso 14.1.2

Simplifica $- 2 \ln (| y + 2 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Paso 14.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| y + 2 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 14.3

Combina $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.5.1

Multiplica $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

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Paso 14.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Paso 14.5.1.2

Simplifica $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Paso 14.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 14.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Paso 14.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$