Cálculo Ejemplos

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $4 x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{y}{4 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{y}{4 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Paso 1.2.4.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Paso 1.2.4.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $4 y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $4 y$ de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $(y + 1) (y - 1)$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = (y + 1) (y - 1)$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = (y + 1) (y - 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y + 1$ y $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.4.2

Multiplica $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.2.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Paso 2.2.2.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Paso 2.2.2.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.2.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.3.8.2

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Paso 2.2.2.1.3.8.3

Suma $y$ y $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Paso 2.2.2.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Paso 2.2.2.1.3.8.4.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$