Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1 + x}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 3.3

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Paso 3.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$