Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{t} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} (e^{t} {(y - 1)}^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza ${(y - 1)}^{2}$ de $e^{t} {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = e^{t}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = e^{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int e^{t} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.4

Reescribe $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Paso 2.3

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 1$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ por $y - 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y - 1}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = e^{t} y + e^{t} \cdot - 1 + K (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - 1 \cdot e^{t} + K (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe $- 1 e^{t}$ como $- e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K (y - 1)$

Paso 3.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y + K \cdot - 1$

Paso 3.2.3.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - 1 \cdot K$

Paso 3.2.3.1.6

Reescribe $- 1 K$ como $- K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - K$

Paso 3.2.3.2

Reordena los factores en $e^{t} y - e^{t} + K y - K$ .

$- 1 = y e^{t} - e^{t} + K y - K$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$ .

$y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $e^{t}$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{t} + K y - K = - 1 + e^{t}$

Paso 3.3.2.2

Suma $K$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{t} + K y = - 1 + e^{t} + K$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{t} + K y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{t}$ .

$y (e^{t}) + K y = - 1 + e^{t} + K$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (e^{t}) + y K = - 1 + e^{t} + K$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (e^{t}) + y K$ .

$y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ por $e^{t} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ por $e^{t} + K$ .

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{t} + K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 + e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.5

Factoriza $- 1$ de $e^{t}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- e^{t})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.7

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t} - K)}{e^{t} + K}$

Paso 3.3.4.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 - e^{t} - K}{e^{t} + K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 - e^{t} + K}{e^{t} + K}$