Cálculo Ejemplos

$2 x y y' = 1 + y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ por $2 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Para escribir $\frac{y}{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{y}{2 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{2 x y}$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados por $\frac{2 y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{1 + y^{2}}{2 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $2 y$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $2 y$ de $2 y x$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y (x)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 2.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Sea $u = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.2.1

Deja $u = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 3.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 3.2.2.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 3.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$

Paso 4.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}$

Paso 4.5

Resuelve $y$

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Paso 4.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 4.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 4.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + y^{2} | = e^{C} | x |$

Paso 4.5.4

Resuelve $y$

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Paso 4.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x |$ .

$| 1 + y^{2} | = | x | e^{C}$

Paso 4.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | x | e^{C}$

Paso 4.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{C} | x |$

Paso 4.5.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Paso 4.5.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Paso 5.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C | x | - 1}$