Cálculo Ejemplos

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x y + 3 y^{2} - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $y$ es $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Paso 2.5.2

Suma $4 x + 6 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Paso 3.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $x + 2 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Paso 3.3.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $4 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $4 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x (x + 2 y)$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x (x + 2 y)$ por $N$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.4

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.5

Resta $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.6

Factoriza $2$ de $2 x + 4 y$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.6.2

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.6.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Paso 6.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Paso 6.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $4 x y + 3 y^{2} - x$ por $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.3.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x (x + 2 y)$ por $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Paso 7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.7.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 7.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Paso 7.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Paso 7.7.2

Suma $3$ y $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Paso 7.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Paso 9.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Paso 9.3

Dado que $2 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Paso 9.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 9.5

Simplifica.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 9.6

Simplifica.

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Paso 9.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 9.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Paso 9.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Paso 9.6.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{4} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Paso 12.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 12.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $4 x^{3} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Paso 13.1.2

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 13.1.3

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 13.1.3.1

Resta $4 x^{3} y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 13.1.3.2

Suma $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 13.1.3.3

Reordena los factores en los términos $3 y^{2} x^{2}$ y $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 13.1.3.4

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Paso 13.1.3.5

Suma $- x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 14.5

Reescribe $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 16

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$