Cálculo Ejemplos

$(x^{3} + y^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Paso 2.2

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $y$ es $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.4

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Paso 3.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x^{2} = 3 x^{2}$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- x^{2} = 3 x^{2}$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $3 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $- x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- x^{2} y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} - - x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- - x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 - - 1)}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 + 1)}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{- 1 y}$

Paso 5.3.4

Sustituye $- x^{2} y$ por $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 4 \ln (| y |)$ al mover $- 4$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- x^{2} y$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- x^{2} y \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $- x^{2} y$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$- x^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{y^{3}}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x^{3} + y^{3}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x^{3} + y^{3}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{4}} d y = 0$

Paso 7.6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Paso 9.2

Dado que $\frac{1}{y^{3}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y^{3}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x)$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x$

Paso 9.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 9.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.5.1

Reescribe $- \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $- \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 9.5.2

Simplifica.

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Paso 9.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 y^{3}} x^{3} + C$

Paso 9.5.2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $- \frac{x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ con respecto a $y$ es $- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{3}}$ como ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{3}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.7

Multiplica $y^{- 6}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.9

Combina $3$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.10

Combina $\frac{3 x^{3}}{3}$ y $y^{- 4}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{- 4}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.11

Mueve $y^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.3.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.3.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Resta $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Expande $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 13.1.1.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.6.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.9

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.10

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.10.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.10.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 13.1.1.3.3.10.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4

Combina los términos opuestos en $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

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Paso 13.1.1.3.4.1

Reordena los factores en los términos $x^{2} y$ y $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4.2

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4.3

Suma $- x^{3} - x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4.4

Reordena los factores en los términos $- x y^{2}$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4.5

Suma $- y^{2} x$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.4.6

Suma $- x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Resta $y^{3}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.6.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{4}$ .

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Paso 13.1.1.6.1.1

Factoriza $y^{3}$ de $- y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.6.1.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Paso 13.1.1.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Paso 13.1.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Paso 13.1.2

Suma $\frac{1}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 14.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + \ln (| y |) + C$