Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $f (4) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.1.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $4$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} + K = 1$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 + K = 1$

Paso 4.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 4$

Paso 4.3.2

Resta $4$ de $1$ .

$K = - 3$

Paso 5

Sustituye $- 3$ por $K$ en $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $- 3$ por $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$