Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 - 3 y$ . Entonces $d u = - 3 d y$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 - 3 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 3 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Reescribe $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ como $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7.2

Simplifica.

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Paso 2.2.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 (1 - 3 y)$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ por $3 (1 - 3 y)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ por $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.2.3

Cancela el factor común de $1 - 3 y$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.2

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.4

Multiplica $\ln ({| x |}^{3})$ por $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.6.1

Simplifica $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.6.2

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.6.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Paso 3.2.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Paso 3.2.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Paso 3.2.3.1.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Paso 3.2.3.1.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Paso 3.2.3.1.11

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Paso 3.2.3.2

Reordena los factores en $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ .

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Paso 3.3.3

Resta $9 C y$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Paso 3.3.4

Resta $\ln ({| x |}^{3})$ de ambos lados de la ecuación.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Paso 3.3.5

Factoriza $y$ de $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Paso 3.3.5.2

Factoriza $y$ de $- 9 C y$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Paso 3.3.5.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Paso 3.3.6

Reescribe $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ como $- \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Paso 3.3.7

Divide cada término en $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ por $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ y simplifica.

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Paso 3.3.7.1

Divide cada término en $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ por $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.7.2.1

Cancela el factor común de $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

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Paso 3.3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.7.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.7.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 C$ .

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 C) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ .

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.7

Reescribe $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ como $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Paso 3.3.7.3.2.8

Factoriza $- 1$ de $- 9 C$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Paso 3.3.7.3.2.9

Factoriza $- 1$ de $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Paso 3.3.7.3.2.10

Reescribe $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ como $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Paso 3.3.7.3.2.11

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Paso 3.3.7.3.2.12

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$