Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

Paso 1.1.3.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.3.1

Combina $- y$ y $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4.4

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.4.5

Suma $- 1 - y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.3.5.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

Paso 1.1.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ al numerador.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Paso 1.4.3.2

Factoriza $y + 1$ de $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Paso 1.4.3.3

Factoriza $y + 1$ de $(y + 1) x$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

Paso 1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Paso 1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Paso 1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ en dos fracciones.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Sea $u = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 2.2.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.3.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$