Cálculo Ejemplos

$2 x y d y + (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Paso 2.4

Resta $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 3.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 y = 2 y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $2 x y$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $2 x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{2 x}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x}$

Paso 5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Paso 7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $2 x y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 7.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 7.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.6

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Paso 7.7

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Paso 7.8

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{2}{x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{2}{x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $2$ por $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.5

Combina $\frac{1}{x}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{x}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.5.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 12.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Resta $\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Expande $(- x - y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.1.1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.3.1.6.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.1.8

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.2

Resta $y x$ de $x y$ .

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Paso 13.1.1.3.3.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.2.2

Resta $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.3

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 13.1.1.4.1

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 13.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Paso 13.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Paso 14.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + x + C$