Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} y^{3}$ de $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} y^{3}$ de $x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2} y^{3}$ de $- x^{2} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{2} y^{3}$ de $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x + x y^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $x y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (y^{4})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

Paso 1.2.5

Multiplica $x$ por $1 + y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.1.2.5

Divide $x (x - 1)$ por $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Paso 1.5.6

Multiplica $x^{2} - x$ por $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Paso 1.5.7

Cancela el factor común de $1 + y^{4}$ .

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Paso 1.5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Paso 1.5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

Paso 1.5.8

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.5.8.1

Factoriza $y^{3}$ de $(x^{2} - x) y^{3}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Paso 1.5.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Paso 1.5.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ .

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $y^{- 3}$ por $1$ .

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $y^{4}$ por $y^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.3.3

Simplifica $y^{1}$ .

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.7.2

Simplifica.

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Paso 2.2.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.7.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.2.8

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$