Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $6 x - x^{3}$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 6 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 6 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.3.2.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.3.2

Combina $u$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Paso 2.3.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Reescribe $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

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Paso 2.3.8.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.8.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina ${(6 - x^{2})}^{2}$ y $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $K$ y $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.2.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $8$ a la izquierda de $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Paso 3.2.2.1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.2.2.1.5.1

Factoriza $- 1$ de $- {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Paso 3.2.2.1.5.2

Factoriza $- 1$ de $8 K$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Paso 3.2.2.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Paso 3.2.2.1.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1.5.4.1

Reescribe $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ como $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Paso 3.2.2.1.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe ${(6 - x^{2})}^{2}$ como $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.2

Expande $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.1.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.3.2

Resta $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Paso 3.4.4

Reescribe $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ como ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ .

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Paso 3.4.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Paso 3.4.4.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.4.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Paso 3.4.4.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Paso 3.4.4.6

Agrega paréntesis.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Paso 3.4.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Paso 3.4.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Paso 3.4.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$