Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = x^{2}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x^{2} e^{- x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x^{2} e^{- x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x^{2} e^{- x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Paso 6.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Paso 6.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Paso 6.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 6.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 6.7.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 6.8

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.8.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 6.8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 6.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 6.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Paso 6.11

Reescribe $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ como $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Paso 6.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $x (- e^{- x}) - e^{- x}$ .

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Paso 7.3.1.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $x (- e^{- x})$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1) - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (- 1 x - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.3.2

Divide $2 (- x - 1)$ por $1$ .

$y = - x^{2} + 2 (- x - 1) + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} - 2 x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$