Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Paso 1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Cancela el factor común de $10 + 4 \sin (t)$ y $2$ .

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Paso 3.1.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.1.2.4

Divide $x (5 + 2 \sin (t))$ por $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ como $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Paso 4.3

Reordena $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$