Cálculo Ejemplos

$(\cos (x) + \ln (y)) d x + (\frac{x}{y} + e^{y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) + \ln (y)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 1.2.2

Como $\cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\cos (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{y}$

Paso 1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \frac{x}{y} + e^{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + e^{y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y} + e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\frac{1}{y}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) + \ln (y) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \cos (x) d x + \int \ln (y) d x$

Paso 5.2

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + C + \int \ln (y) d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \sin (x) + C + \ln (y) x + C$

Paso 5.4

Simplifica.

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x) + \ln (y) x + g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.2.2

Como $\sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\sin (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\ln (y) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.3.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$0 + x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.3.3

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 9.1.1.1

Resta $\frac{x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} = e^{y}$

Paso 9.1.1.2

Resta $e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y} = 0$

Paso 9.1.1.3

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y}$ .

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Paso 9.1.1.3.1

Resta $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - e^{y} = 0$

Paso 9.1.1.3.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{y} = 0$

Paso 9.1.2

Suma $e^{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $e^{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Paso 10.3

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$ .

$f (x, y) = \sin (x) + x \ln (y) + e^{y} + C$