Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.4

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Paso 3.4.5

Combina $2$ y $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Paso 3.4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.4.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4.8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.4.8.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Paso 3.4.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(0, 3)$ , solo considera $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $x$ y $3$ por $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Paso 6.3.1.1.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Paso 6.4

Resuelve $K$

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Paso 6.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 K}$ como ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Simplifica ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 6.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 6.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Simplifica.

$6 K = 9^{2}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$6 K = 81$

Paso 6.4.3

Divide cada término en $6 K = 81$ por $6$ y simplifica.

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Paso 6.4.3.1

Divide cada término en $6 K = 81$ por $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Paso 6.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Paso 6.4.3.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Paso 6.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.3.1

Cancela el factor común de $81$ y $6$ .

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Paso 6.4.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Paso 6.4.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Paso 6.4.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Paso 6.4.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$K = \frac{27}{2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{27}{2}$ por $K$ en $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{27}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Para escribir $x^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Paso 7.2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Paso 7.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Paso 7.2.5

Combina $6$ y $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Paso 7.2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.6.1

Reduce la expresión $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.6.1.1

Factoriza $2$ de $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Paso 7.2.6.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Paso 7.2.6.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Paso 7.2.6.1.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Paso 7.2.6.2

Divide $3 (2 x^{3} + 27)$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$