Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 6 \sin (6 x)$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 4$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{4 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{4 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (6 \sin (6 x))$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (6 \sin (6 x))$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 6 e^{4 x} \sin (6 x)$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 6 e^{4 x} \sin (6 x)$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 6 e^{4 x} \sin (6 x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 6 e^{4 x} \sin (6 x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 6 e^{4 x} \sin (6 x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{4 x} y = \int 6 e^{4 x} \sin (6 x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 6 \int e^{4 x} \sin (6 x) d x$

Paso 6.2

Reordena $e^{4 x}$ y $\sin (6 x)$ .

$e^{4 x} y = 6 \int \sin (6 x) e^{4 x} d x$

Paso 6.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (6 x)$ y $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\sin (6 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (6 \cos (6 x)) d x)$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{4} \cdot 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4} \cdot 6$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 6 (\sin (6 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 6 \int e^{4 x} (\cos (6 x)) d x))$

Paso 6.5

Combina fracciones.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\sin (6 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 6 \int e^{4 x} (\cos (6 x)) d x))$

Paso 6.5.2

Combina $\sin (6 x)$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 6 \int e^{4 x} (\cos (6 x)) d x))$

Paso 6.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $6$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} \int e^{4 x} (\cos (6 x)) d x))$

Paso 6.5.4

Reordena $e^{4 x}$ y $\cos (6 x)$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} \int \cos (6 x) e^{4 x} d x))$

Paso 6.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (6 x)$ y $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} (\cos (6 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 6 \sin (6 x)) d x)))$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{4} \cdot - 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4} \cdot - 6$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} (\cos (6 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 6 \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))))$

Paso 6.8

Simplifica los términos.

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Paso 6.8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} (\cos (6 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 6 \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))))$

Paso 6.8.2

Combina $\cos (6 x)$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} (\frac{\cos (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 6 \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))))$

Paso 6.8.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 6$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{6}{4} (\frac{\cos (6 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))))$

Paso 6.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{6}{4} \cdot \frac{\cos (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{6}{4} (- (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)))$

Paso 6.8.5

Multiplica $\frac{\cos (6 x) e^{4 x}}{4}$ por $\frac{6}{4}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{4 \cdot 4} - \frac{6}{4} (- (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)))$

Paso 6.8.6

Multiplica.

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Paso 6.8.6.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} - \frac{6}{4} (- (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)))$

Paso 6.8.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} + 1 (\frac{6}{4}) (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))$

Paso 6.8.6.3

Multiplica $\frac{6}{4}$ por $1$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} + \frac{6}{4} (\frac{- 6}{4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x))$

Paso 6.8.7

Multiplica $\frac{- 6}{4}$ por $\frac{6}{4}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} + \frac{- 6 \cdot 6}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)$

Paso 6.8.8

Multiplica.

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Paso 6.8.8.1

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} + \frac{- 36}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)$

Paso 6.8.8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16} + \frac{- 36}{16} \int e^{4 x} (\sin (6 x)) d x)$

Paso 6.9

Al resolver $\int e^{4 x} \sin (6 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{4 x} \sin (6 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16}}{\frac{52}{16}}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 6}{16}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.10.1

Simplifica.

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Paso 6.10.1.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{6 \cdot (\cos (6 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $16$ .

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Paso 6.10.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 \cos (6 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (3 \cos (6 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.10.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (3 \cos (6 x) e^{4 x})}{2 (8)}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (3 \cos (6 x) e^{4 x})}{2 \cdot 8}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{52}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.3

Cancela el factor común de $52$ y $16$ .

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Paso 6.10.1.3.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 (13)}{16}} + C)$

Paso 6.10.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.10.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 4}} + C)$

Paso 6.10.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 4}} + C)$

Paso 6.10.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{13}{4}} + C)$

Paso 6.10.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{13}{4}$ .

$e^{4 x} y = 6 ((\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{13} + C)$

Paso 6.10.2

Reescribe $6 ((\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{4} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{13} + C)$ como $6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3

Simplifica.

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Paso 6.10.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\sin (6 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{4 \cdot (\sin (6 x) e^{4 x})}{4 \cdot 13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.2

Multiplica $4$ por $13$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{4 \sin (6 x) e^{4 x}}{52} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $52$ .

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Paso 6.10.3.3.1

Factoriza $4$ de $4 \sin (6 x) e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{4 (\sin (6 x) e^{4 x})}{52} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.10.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{4 (\sin (6 x) e^{4 x})}{4 \cdot 13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{4 (\sin (6 x) e^{4 x})}{4 \cdot 13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{13} + \frac{- 3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{13} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.4

Simplifica.

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Paso 6.10.4.1

Reordena los factores en $\frac{\sin (6 x) e^{4 x}}{13}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{e^{4 x} \sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}) + C$

Paso 6.10.4.2

Reordena los factores en $\frac{3 \cos (6 x) e^{4 x}}{26}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} e^{4 x} \sin (6 x) - \frac{3}{26} e^{4 x} \cos (6 x)) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $e^{4 x}$ y $\frac{3}{26}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{e^{4 x} \cdot 3}{26} \cdot \cos (6 x)) + C$

Paso 7.1.2

Combina $\cos (6 x)$ y $\frac{e^{4 x} \cdot 3}{26}$ .

$e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26}) + C$

Paso 7.1.3

Elimina los paréntesis.

$e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} \cdot e^{4 x} \sin (6 x) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26}) + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26}) + C$ por $e^{4 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{4 x} y = 6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26}) + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6 (\frac{1}{13} \cdot (e^{4 x} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) (e^{4 x} \cdot 3)}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $\frac{1}{13} \cdot e^{4 x} \sin (6 x) - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 3}{26}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $\frac{1}{13} \cdot e^{4 x} \sin (6 x)$ .

$y = \frac{6 (e^{4 x} (\frac{1}{13} \sin (6 x)) - \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 3}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{4 x}$ de $- \frac{\cos (6 x) e^{4 x} \cdot 3}{26}$ .

$y = \frac{6 (e^{4 x} (\frac{1}{13} \sin (6 x)) + e^{4 x} (- \frac{\cos (6 x) \cdot 3}{26}))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{4 x}$ de $e^{4 x} (\frac{1}{13} \sin (6 x)) + e^{4 x} (- \frac{\cos (6 x) \cdot 3}{26})$ .

$y = \frac{6 (e^{4 x} (\frac{1}{13} \sin (6 x) - \frac{\cos (6 x) \cdot 3}{26}))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{13}$ y $\sin (6 x)$ .

$y = \frac{6 (e^{4 x} (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{\cos (6 x) \cdot 3}{26}))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$y = \frac{6 (e^{4 x} (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cdot \cos (6 x)}{26}))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y = \frac{6 e^{4 x} (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cos (6 x)}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{6 e^{4 x} (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cos (6 x)}{26})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Divide $6 (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cos (6 x)}{26})$ por $1$ .

$y = 6 (\frac{\sin (6 x)}{13} - \frac{3 \cos (6 x)}{26}) + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 \frac{\sin (6 x)}{13} + 6 (- \frac{3 \cos (6 x)}{26}) + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Combina $6$ y $\frac{\sin (6 x)}{13}$ .

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 6 (- \frac{3 \cos (6 x)}{26}) + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 \cos (6 x)}{26}$ al numerador.

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 6 \frac{- 3 \cos (6 x)}{26} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 2 (3) \frac{- 3 \cos (6 x)}{26} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.3

Factoriza $2$ de $26$ .

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 2 \cdot 3 \frac{- 3 \cos (6 x)}{2 \cdot 13} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 2 \cdot 3 \frac{- 3 \cos (6 x)}{2 \cdot 13} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + 3 \frac{- 3 \cos (6 x)}{13} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.6

Combina $3$ y $\frac{- 3 \cos (6 x)}{13}$ .

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + \frac{3 (- 3 \cos (6 x))}{13} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.7

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} + \frac{- 9 \cos (6 x)}{13} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{6 \sin (6 x)}{13} - \frac{9 \cos (6 x)}{13} + \frac{C}{e^{4 x}}$