Cálculo Ejemplos

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Paso 1.2

Como $\sin (3 x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\sin (3 x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Paso 2.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y \cos^{3} (3 x)$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.5.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.6.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Paso 2.6.5

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Reordena los términos.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.2.4

Factoriza $2$ de $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Paso 4.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Paso 4.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.3.2

Suma $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ y $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $\cos^{2} (3 x)$ y $\cos^{3} (3 x)$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $\cos^{2} (3 x)$ de $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $\cos^{2} (3 x)$ de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 4.3.6

Separa las fracciones.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Paso 4.3.7

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Paso 4.3.8

Divide $9$ por $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Paso 5.2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Paso 5.3

Combina $\tan (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Paso 5.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Paso 5.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Paso 5.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Paso 5.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Paso 5.5.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Paso 5.6

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Paso 5.7

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Paso 5.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Paso 5.9

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.1

Simplifica $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Paso 5.9.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ por el factor integrador $\sec^{3} (3 x)$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\sin (3 x)$ por $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.2

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.5

Combina $\sin (3 x)$ y $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.6

Factoriza $\cos (3 x)$ de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.7

Separa las fracciones.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.8

Convierte de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ a $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.10

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.11

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.12

Multiplica $2 y \cos^{3} (3 x)$ por $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Paso 6.13

Reescribe $\sec (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Paso 6.14

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Paso 6.15

Cancela el factor común de $\cos^{3} (3 x)$ .

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Paso 6.15.1

Factoriza $\cos^{3} (3 x)$ de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Paso 6.15.2

Cancela el factor común.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Paso 6.15.3

Reescribe la expresión.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Paso 6.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Paso 6.17

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 11.3

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Paso 12.3

Sea $u_{2} = \sec (3 x)$ . Entonces $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.3.1

Deja $u_{2} = \sec (3 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1.1

Diferencia $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 12.3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 12.3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 12.3.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 12.3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 12.3.1.3

Diferencia.

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Paso 12.3.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 12.3.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 12.3.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Paso 12.3.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Paso 12.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 12.4

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Paso 12.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 12.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 12.7

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 12.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 12.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 12.9

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Paso 14

Combina $\frac{1}{6}$ y $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$